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Le théorème de Barsalou

Considérons l’ensemble des nombres de 1 à n. Combien peut-on former de sous-ensembles satisfaisant les conditions suivantes :

a) deux nombres consécutifs ne peuvent se trouver dans un même ensemble ;
b) si (n  - 2) se trouve dans l’ensemble, n  ne s’y trouve pas ;
c) n, n  - 1 ou n  - 2 s’y trouve ?

Appelons Pn le nombre de tels sous-ensembles.

La réponse est simplement : le (n  +1)ième nombre de Fibonacci Fn.

En effet :

  1. ceux qui ne contiennent pas n : leur nombre est evidemment égal à Pn-1.
  2. ceux qui contiennent n : ils ne peuvent contenir n  - 1 ni n    - 2, mais ils sont en même nombre que Pn-2 (ce sont les mêmes sous-ensembles, avec n  à la place de n  - 2).

Donc, Pn = Pn-1 + Pn-2.

La loi de formation des P est donc exactement celle des F.

Théorie de l'information, bridge

Ceci possède une application en théorie de l’information, et tout particulièrement au bridge. C’est d’ailleurs dans ce cadre que Eric BARSALOU l’a introduit. Il s’agit de dénombrer les séquences d’enchères disponibles entre deux paliers donnés, en supposant que le partenaire utilise à chaque tour l’enchère la plus économique disponible (principe du relais).

La règle (a) exprime que l’enchère-relais est indisponible pour se décrire, puisqu’elle a été prise par le relais ; (b) que quand on fait l’antépénultième enchère disponible, un relais ne sert plus à rien (plus de place pour se décrire) ; (c) que l’on se décrit jusqu’au bout.

Par exemple, il y a 55 (F10) séquences d’enchères à relais disponibles entre 2¨ et 3SA (9 paliers). Il y a donc ... presque toute la place disponible pour décrire les mains régulières (28 différentes existent) en distinguant entre faible et fort, sur une interrogative à 2§ .

Référence complémentaire

Bridge et mathématiques : théorie des enchères et de l’Information, par Pierre TOUGNE, dans Pour la Science de 10/81.

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Université Libre de Bruxelles

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Mise à jour: Novembre 2000